Beweis des Satzes des Pythagoras

Diese Seite skizziert den Beweis des Satzes des Pythagoras. Drei Gleichungen sind im <mtable>-Element angeordnet, um die Schritte des Beweises durch das Gleichheitszeichen zu gliedern. Der Beweis wird auch im LaTeX-Format im <annotation>-Element dargestellt.

Beweis

Aussage: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten. Insbesondere gilt, wenn $a$ und $b$ die Katheten sind und $c$ die Hypotenuse ist, dann $a^2 + b^2 = c^2$ .

Beweis: Wir können den Satz algebraisch beweisen, indem wir zeigen, dass in dieser Abbildung die Fläche des großen Quadrats gleich der Fläche des inneren Quadrats (Hypotenuse im Quadrat) plus der Fläche der vier Dreiecke ist:

html

<math display="block">
  <semantics>
    <mtable>
      <!-- Step one -->
      <mtr>
        <mtd>
          <msup>
            <mrow>
              <mo>(</mo>
              <mi>a</mi>
              <mo>+</mo>
              <mi>b</mi>
              <mo>)</mo>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </msup>
        </mtd>
        <mtd>
          <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
          <msup>
            <mi>c</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
          <mo>+</mo>
          <mn>4</mn>
          <mo>⋅</mo>
          <mo>(</mo>
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
          <mi>a</mi>
          <mi>b</mi>
          <mo>)</mo>
        </mtd>
      </mtr>
      <!-- Step two -->
      <mtr>
        <mtd>
          <msup>
            <mi>a</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
          <mo>+</mo>
          <mn>2</mn>
          <mi>a</mi>
          <mi>b</mi>
          <mo>+</mo>
          <msup>
            <mi>b</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
        </mtd>
        <mtd>
          <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
          <msup>
            <mi>c</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
          <mo>+</mo>
          <mn>2</mn>
          <mi>a</mi>
          <mi>b</mi>
        </mtd>
      </mtr>
      <!-- Step three -->
      <mtr>
        <mtd>
          <msup>
            <mi>a</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
          <mo>+</mo>
          <msup>
            <mi>b</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
        </mtd>
        <mtd>
          <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
          <msup>
            <mi>c</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
    <!-- Representation in TeX format -->
    <annotation encoding="application/x-tex">
      \begin{aligned}
      (a + b)^2 &= c^2 + 4 \cdot \left( \frac{1}{2} ab \right) \\
      a^2 + 2ab + b^2 &= c^2 + 2ab \\
      a^2 + b^2 &= c^2
      \end{aligned}
    </annotation>
  </semantics>
</math>